Comment savoir si un nombre est premier ?

Tous les nombres ne reflètent pas les mêmes informations en mathématiques. Certains sont qualifiés de nombres premiers car ils possèdent deux diviseurs : 1 et lui-même. Autrement dit, c’est un nombre qui ne peut être divisé que par 1 ou par lui-même lors d’un calcul de décomposition.

Pour savoir si un nombre est premier, vous disposez de plusieurs moyens pour y parvenir. Dans ce billet, on vous livre les astuces nécessaires pour déterminer un nombre premier, mais avant, on vous informe sur ce que c’est.

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Nombre premier : qu’est-ce que c’est ?

Un nombre premier, est un chiffre ou un nombre qui constituent les bases de l’arithmétique. Un nombre premier, est un nombre entier naturel qui n’admet que deux diviseurs entiers naturels : le chiffre 1 et lui-même.

Lorsqu’on parle de division dans le cas d’un nombre premier, il est important de savoir qu’il s’agit d’une division faisant intervenir des nombres entiers naturels pour obtenir un autre nombre entier naturel positif.

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Il existe plusieurs nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, sont des exemples de nombres premiers. On remarque que le chiffre 1 ne fait pas partie de la liste des nombres premiers. Cela s’explique fondamentalement par le fait que ce nombre n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Cela n’est sans doute pas conforme aux règles.

Quelles sont les méthodes d’identification d’un nombre premier ?

Les nombres premiers ne se limitent pas à 17. Ils vont bien au-delà et il n’est pas facile de les mémoriser. Il devient alors nécessaire de connaître des astuces d’identification, pour reconnaître si un nombre est premier. Parmi les moyens disponibles pour cette tâche, il y a la méthode de la division, la méthode du crible d’Eratosthène, et plusieurs autres algorithmes utiles. Voici en détail comment utiliser ces différentes techniques pour identifier un nombre premier.

La méthode par division

Cette méthode est un algorithme appelé test de primalité. Elle repose sur des essais de division. Pour appliquer cette méthode, il faut utiliser la racine carrée du nombre concerné par la vérification. Cette racine carrée est divisée par tous les nombres premiers qui lui sont inférieurs.

Si la division par l’un de ces nombres donne un nombre entier naturel positif, alors le nombre à vérifier n’est pas un nombre premier. Au contraire, il serait un nombre composé. Si la division par tous ces nombres n’aboutit à aucun résultat de nombre entier naturel, alors le nombre à vérifier n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. De ce fait, il peut être considéré comme un nombre premier.

Néanmoins, cette méthode peut être d’un grand ennui, car étant longue pour les nombres élevés. Si vous n’avez pas les bonnes astuces pour utiliser des raccourcis, vous perdrez assez de temps. Car plusieurs essais de divisions sont souvent inutiles. Par exemple, un nombre qui n’est pas divisible par 2, ne peut pas l’être par 4.

Pour éviter de perdre du temps par cette méthode fastidieuse, il existe une autre méthode plus simple et plus pratique pour identifier un nombre premier.

L’utilisation du crible d’Eratosthène

C’est une méthode dont le principe repose toujours sur des essais de division, mais elle est une version plus amusante et relativement rapide. Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir tous les nombres premiers inférieurs à la racine carrée d’un nombre entier naturel donné supposé premier.

C’est une méthode étudié au collège qui suit des règles bien précises pour sa détermination. Pour le faire, il faut :

• Établir la liste des nombres entiers naturels inférieurs au nombre concerné ou à sa racine carrée, en commençant par 2 ;
• Retenir 2 comme le premier nombre premier de la liste  ;
• Barrer ensuite tous les multiples de 2 contenus dans cette liste  ;
• Passer au nombre qui suit 2 parmi ceux non encore barrés, le nombre 3  ;
• Barrer encore tous les multiples de 3 dans la liste  ;
• Reprendre le même processus en suivant l’ordre croissant des nombres premiers jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien à barrer.

Les nombres premiers sont ceux qui n’ont pas été barrés dans la liste.

Si ces deux méthodes ne vous satisfont pas, il y a plusieurs autres algorithmes que vous pouvez utiliser pour déterminer si un nombre est premier ou pas. Il y a par exemple, le crible de Sundaram.